Inversão do Ponto

São dados num plano uma circunferência C de centro O e raio r e um ponto P não coincidente com o centro O. Considere um ponto P' na semi-reta OP tal que OP . OP' = r². O ponto P' é a inversão do ponto P em relação à circunferência C.
De acordo com essa definição, para se obter o ponto P', procede-se assim:
Toma-se um ponto T qualquer na circunferência C e traça-se uma circunferência auxiliar que tangencia a reta OT no ponto T e que passa pelo ponto P.
Essa circunferência intercepta a semi-reta OP nos pontos P e P'.
Pela potência do ponto O em relação a essa circunferência auxiliar, concluímos que OP.OP' = r². 
Observe que a posição de P' não depende da posição de T e sim, e somente, de P.
Podemos verificar que, quando P se aproxima do centro O, P' se afasta tendendo ao infinito e quando P tende ao infinito, P' se aproxima do centro O.
Observa-se também que, quando P está sobre a circunferência C, sua inversão P' coincide com ele.