Resolução gráfica da equação x²+bx+c=0

Vamos considerar apenas os casos onde c é diferente de zero, já que neste caso as raízes são 0 e -b.

1º caso:   c > 0

Justificativa:
Se c > 0, as raízes têm o mesmo sinal.

Sendo x' e x'' as raízes, devemos ter: |x'| + |x''| = |b|    e   |x'| . |x''| = c

Na construção gráfica, fazemos MN = c  ,  NO = 1  e  OP = |b|

Os triângulos MQO e OUP são retângulos, então:

    (NQ)² = MN . NO  =>  (NQ)² = c . 1  => (NQ)² = c

    (UG)² = OG . GP  e  UG = NQ  . Portanto  OG . GP = c

E como OG + GP = |b| , concluimos que OG = |x'|  e  GP = |x''|

Observação: se b > 0, as raízes são negativas e se b < 0, as raízes são positivas

2º caso:   c < 0

Justificativa:
Se c < 0, as raízes têm sinais contrários.

Sendo x' e x'' as raízes, com |x''| > |x'|, temos: |x''|-|x'| = |b| e |x'|.|x''| = |c|

Na construção gráfica, fazemos MN = |c|  ,  NO = 1  e  OP = |b|

O triângulo MQO é retângulo, então:

    (NQ)² = MN . NO  =>  (NQ)² = |c| . 1  => (NQ)² = |c|
Pela potência do ponto U em relação à circunferência de centro I, temos:

    (UO)² = UG . UH 

Como UO = NQ, concluimos que UG . UH = |c|
 UH - UG = GH  =>  UH - UG = OP  =>  UH - UG = |b|
Concluimos, finalmente, que UH = |x''| e UG = |x'|.

Observações: 

• se b > 0, x' = UG e x'' = -UH
• se b < 0, x' = -UG e x'' = UH
• se b = 0, as raízes são simétricas, com x' = -UG e x'' = UH

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