Um Problema de Olimpíada

Este problema apareceu na Olimpíada Ibero-Americana de Matemática, em 1987:
Dado um quadrilátero convexo ABCD, tomam-se os pontos P e Q sobre os lados AD e BC, respectivamente, de modo que AP/PD =  BQ/QC = AB/DC. Demonstre que os ângulos formados pela reta PQ com as retas AB e DC são iguais.

No applet abaixo, você pode mover os vértices do quadrilátero e verificar essa propriedade, bem como ver a demonstração.